Normalverteilung

Setzen wir in der integralen Näherungsformel für k₁ = 0 und k₂ = k, erhalten wir

P(X ≤ k) ≈ Φ[(k + 0,5 − μ) / σ] − Φ[(0 − 0,5 − μ) / σ],

und da Φ[(0 − 0,5 − μ) / σ] ≈ 0 für große n:

P(X ≤ k) ≈ Φ[(k + 0,5 − μ) / σ].

Streichen wir nun noch (ohne großen Genauigkeitsverlust) die "Stetigkeitskorrektur" 0,5 und setzen für k ein beliebiges reelles x, so ergibt sich

P(X ≤ x) ≈ Φ[(x − μ) / σ],

eine (für große n) gute Näherung der Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße X. Man nennt sie Normalverteilung N.

allgemeine Definition:

Hat eine Zufallsgröße X mit Erwartungswert μ und Varianz σ² die Verteilungsfunktion

Φ_μσ: x → Φ[(x−μ)/σ]

so heißt sie normalverteilt nach N(μ; σ).

erstellt von C. Wolfseher