Bislang haben wir die Gauß-Funktion nur für binomialverteilte
Zufallsgrößen X benutzt. Ihre Anwendung ist jedoch viel weitreichender, wie folgendes Beispiel zeigt:
Sei X1 die Augenzahl beim Würfeln. Alle sechs Werte von X1 sind gleichwahrscheinlich,
X1 ist also nicht binomialverteilt. Das Histogramm zeigt keine Ähnlichkeit mit der (nichtstandardisierten)
Dichtefunktion φμσ
(μ = 3,5; σ2 = 35/12):
Nun würfeln wir zweimal und bilden die Summe X = X1 + X2 der beiden Augenzahlen.
Wir vergleichen wieder das Histogramm von X mit dem Graphen von φμσ
(μ = 7; σ2 = 35/6) und erkennen die Ausprägung einer glockenförmigen Gestalt:
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensumme X = X1 + X2 + X3
von drei Würfen lässt schon eine bessere Annäherung an die Gaußsche Glockenkurve erkennen, obwohl X keineswegs binomialverteilt ist:
Offensichtlich wird die Näherung um so besser, je größer die Anzahl der Würfe ist (hier 4 Würfe):
Die integrale Näherungsformel gilt tatsächlich
nicht nur für binomialverteilte Zufallsgrößen, sondern für jede Zufallsgröße, die sich aus Summanden unabhängiger Zufallsgrößen
zusammensetzt.
Diese sensationelle Entdeckung ist die Aussage vom Zentralen Grenzwertsatz:
Ist die Zufallsgröße X = X1 + X2 + ... + Xn
Summe von n unabhängigen Zufallsgrößen, und ist μ Erwartungswert von X und σ Standardabweichung von X,
so gilt für große n:
