Gaußsche Integralfunktion

Die Gaußsche Integralfunktion Φ misst die linke Randfläche unter der Glockenkurve der Dichtefunktion φ. Φ ist also die zu φ gehörende Verteilungsfunktion und Integralfunktion von φ.

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Φ lässt sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken. Man kann sie jedoch mit Hilfe numerischer Methoden beliebig genau berechnen und tabellieren. Die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Integralfunktion Φ reduziert sich auf die Berechnung verschiedener Flächentypen:
ganze Fläche

F = Φ(∞) = 1

 linke Randfläche (t > 0)

F = Φ(t)
rechte Randfläche (t > 0)

F = 1 − Φ(t)

 linke Randfläche (t < 0)

F = Φ(−t) = 1 − Φ(t)
Mittelfläche

F = Φ(t2) − Φ(t1)

 symmetrische Mittelfläche

F = Φ(t) − Φ(−t) = 2 · Φ(t) − 1

Mit der Gaußschen Integralfunktion Φ und den Ergebnissen der vorausgehenden Seite erhalten wir zusammenfassend:

Ist X eine B(n;p)-verteilte Zufallsgröße mit μ = np und σ2 = np(1−p), und ist k1, k2 aus {0,1, ..., n}, so gilt für große n und beliebige p die Näherung

P(k1 ≤ X ≤ k2) ≈ Φ[(k2 + 0,5 − μ) / σ] −  Φ[(k1 − 0,5 − μ) / σ].

Integrale Näherungsformel von de Moivre-Laplace

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erstellt von C. Wolfseher mit GeoGebra