Integrale Näherungsformel von de Moivre-Laplace

Zur Berechnung von P(k₁ ≤ X ≤ k₂) müssen die Wahrscheinlichkeiten B(n; p; i), also die zugehörigen Rechtecksflächen des Histogramms aufaddiert werden. Solche Flächen können nun durch eine Integration über φ approximiert werden. Dazu müssen die zu k₁ und k₂ gehörigen Integrationsgrenzen t₁ und t₂ bestimmt werden. Da die Breiten unserer Histogrammrechtecke 1 sind und mittig über den k_i stehen, gehen wir vom Intervall [k₁ − 0,5; k₂ + 0,5] aus. Dann folgen die drei Standardisierungsschritte:

1. Verschiebung nach links um μ: [k₁ − 0,5; k₂ + 0,5] → [k₁ − 0,5 − μ; k₂ + 0,5 − μ]
2. Stauchung der Rechtecksbreiten mit dem Faktor 1/σ: [k₁ − 0,5 − μ; k₂ + 0,5 − μ] → [(k₁ − 0,5 − μ) / σ; (k₂ + 0,5 − μ) / σ]
3. Dehnung der Rechteckshöhen mit dem Faktor σ: sorgt dafür, dass die Rechtecksflächen, also die Wahrscheinlichkeiten B(n; p; i) erhalten bleiben. Das Integrationsintervall bleibt davon unberührt.

Führe eine Standardisierung des folgenden Histogramms durch und verfolge, wie sich die Rechtecksflächen der Integralfläche anpassen!

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• Kontrolliere selbst die Berechnung von t₁ und t₂ aus verschiedenen k₁ und k₂!
• Teste auch k₁ = k₂!
• Experimentiere auch mit anderen Parametern n und p (z.B. n = 64 und p = 0,5)!
• Überprüfe die Fausregel: Die Näherung ist für praktische Zwecke ausreichend genau, wenn npq > 9.

Ist Φ eine Stammfunktion von φ erhalten wir P(k₁ ≤ X ≤ k₂) ≈ Φ(t₂) − Φ(t₁) und somit die

Setzt man k₁ = k₂ = k, ergibt sich eine Näherung für P(X = k), die sogenannte

Fehlt also nur noch diese Funktion Φ ...

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