Sei X die Anzahl der Treffer in einer Bernoulli-Kette der Länge n
mit Trefferwahrscheinlichkeit p.
Das Histogramm zeigt die Wahrscheinlichkeiten P(X = k) =
B(n; p; k) für k Treffer.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X heißt
Binomialverteilung.
X hat den Erwartungswert μ = np
und die Varianz σ2 = np(1−p).
In einer großen Lieferung von Kinderüberraschungseiern befindet sich laut Herstellerangabe in jedem 4-ten Ei ein Schlumpf.
Otto kauft 10-mal hintereinander ein Ei. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergattert er insgesamt
mindestens drei, aber höchstens sechs Schlümpfe ? 47,1 %
Überprüfe folgende Aussagen über die Histogramme bei sich ändernden Parametern:
Mit wachsendem p wandert das Maximum nach rechts. (wähle n = 100)
Mit wachsendem n wandert das Maximum nach rechts. Die Histogramme werden breiter und flacher und allmählich symmetrisch.
(wähle p = 0,75)
Die Summe der Flächeninhalte aller Rechtecke eines Histogramms ist 1.
Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten P(k1 ≤ X ≤ k2) wird für große Intervalle
[k1; k2] und große n selbst mit dem Computer sehr aufwändig. Gerade für solche Fälle gibt es aber
eine hinreichend genaue Näherungsformel, die im Folgenden hergeleitet wird.